Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos^{3} (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2.5

Nhân $- 3$ với $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \cos (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos^{2} (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.6

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.6.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.8

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2.11

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Bước 2.4.2

Nhân $- 2$ với $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Bước 4

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Bước 4.2

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 4.3

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 6

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 6.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 7

Đặt $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ bằng với $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $\cos^{2} (x)$ cho $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Bước 7.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Bước 7.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Viết lại $- \frac{1}{2}$ ở dạng $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Bước 7.2.4.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 7.2.4.4

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.2.4.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 7.2.4.6

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 7.2.4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.7.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 7.2.4.7.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 7.2.4.7.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 7.2.4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 7.2.4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 7.2.4.7.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.2.4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.2.4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.2.4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.2.4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 7.2.4.7.6.5

Tính số mũ.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.4.8

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.6

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.7

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.7.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Bước 7.2.7.2

Cosin nghịch đảo của $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ là không xác định.

Không xác định

Bước 7.2.8

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.8.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Bước 7.2.8.2

Cosin nghịch đảo của $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ là không xác định.

Không xác định

Bước 7.2.9

Liệt kê tất cả các đáp án.

Không có đáp án

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, π$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.3

Nhân $12$ với $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.5

Nhân $0$ với $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.8

Nhân $- 6$ với $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Bước 10.1.9

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Bước 10.1.10

Nhân $- 3$ với $1$ .

$0 - 6 - 3$

Bước 10.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Trừ $6$ khỏi $0$ .

$- 6 - 3$

Bước 10.2.2

Trừ $3$ khỏi $- 6$ .

$- 9$

Bước 11

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Bước 12.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Bước 12.2.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Bước 12.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Bước 12.2.1.5

Nhân $3$ với $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Bước 12.2.2

Cộng $2$ và $3$ .

$f (0) = 5$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$y = 5$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.4

Nhân $12$ với $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.7

Nhân $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.7.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.7.2

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.8

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.9

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.11

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.12

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Bước 14.1.13

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Bước 14.1.14

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Bước 14.1.15

Nhân $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.15.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Bước 14.1.15.2

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Bước 14.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Cộng $0$ và $6$ .

$6 + 3$

Bước 14.2.2

Cộng $6$ và $3$ .

$9$

Bước 15

$x = π$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = π$ là cực tiểu địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $π$ trong biểu thức.

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Bước 16.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Bước 16.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Bước 16.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Bước 16.2.1.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Bước 16.2.1.6

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Bước 16.2.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Bước 16.2.1.8

Nhân $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.8.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Bước 16.2.1.8.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Bước 16.2.2

Trừ $3$ khỏi $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Bước 16.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 5$ .

$y = - 5$

Bước 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ là một cực đại địa phuơng

$(π, - 5)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 18