Giải tích Ví dụ

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

Bước 3

Vì $- 3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Bước 4.2

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

Bước 4.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

Bước 5

Giả sử $u = - \frac{t}{3}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{3} d t$ , nên $- 3 d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - \frac{t}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

Bước 5.1.2

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{t}{3}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

Bước 6.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

Bước 6.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

Bước 6.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

Bước 7

Vì $- 3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

Bước 8

Nhân $- 3$ với $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

Bước 10

Viết lại $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ ở dạng $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Bước 12.2

Nhân $- 3$ với $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Bước 12.3

Nhân $- 9$ với $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$