Giải tích Ví dụ

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ ở dạng ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 2

Chia tích phân này thành hai tích phân trong đó $c$ là một giá trị nào đó nằm giữa $- k$ và $k$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ đối với $k$ là $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 4

Hóa n đổi vị trí các biên của tích phân.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 5

Lấy đạo hàm của $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ đối với $k$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $- k$ đối với $k$ là $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Bước 7

Lấy đạo hàm của $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ đối với $k$ bằng định lý cơ bản của giải tích.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- k$ .

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (k)$ .

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.2.3

Nhân $k^{2}$ với $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3

Trừ $k^{2}$ khỏi $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.5.2

Viết lại biểu thức.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.6

Tính số mũ.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.7

Nhân với 0.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.7.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.8

Trừ $k^{2}$ khỏi $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.9.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 8.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 8.10.2

Viết lại biểu thức.

$0 + 0^{1}$

Bước 8.11

Tính số mũ.

$0 + 0$

Bước 8.12

Cộng $0$ và $0$ .

$0$