Giải tích Ví dụ

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x - 10 e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $10$ với $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 10 e^{- x}$ đối với $x$ là $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.1.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.1.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.1.1.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 1.1.1.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 1.1.1.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 1.1.1.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Bước 1.1.1.3.8

Nhân $- 1$ với $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Bước 1.1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 e^{- x} + 10$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 e^{- x}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.2.8

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Bước 1.1.2.3.2

Cộng $- 10 e^{- x}$ và $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 10 e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 10 e^{- x} = 0$ cho $- 10$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 10 e^{- x} = 0$ cho $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia $e^{- x}$ cho $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia $0$ cho $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Bước 1.2.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Bước 1.2.4

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 1.2.5

Không có đáp án nào cho $e^{- x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Đồ thị lồi vì đạo hàm bậc hai âm.

Đồ thị có dạng lồi

Bước 4