Giải tích Ví dụ

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ .

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

Bước 2.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Rút gọn.

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y - 2, 1$

Bước 2.4.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y - 2, 1$

Bước 2.4.1.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y - 2$

Bước 2.4.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ với $y - 2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ với $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Bước 2.4.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = x^{2} (y - 2)$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

Bước 2.4.2.3.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

Bước 2.4.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

Bước 2.4.3.2

Cộng $2 x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

Bước 2.4.3.3

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.4.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.4.3.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.4.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.4.3.3.3.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ với $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ với $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.2

Nâng $\sqrt{x - 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.3

Nâng $\sqrt{x - 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.6

Viết lại ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ ở dạng $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.4.6.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Bước 4.2.3.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.6

Viết lại ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ ở dạng $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.6.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x - 2$ và ${(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.7.1

Nhân với $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Bước 4.2.3.1.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.7.2.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài ${(x - 2)}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Bước 4.2.3.1.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Bước 4.2.3.1.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Bước 4.2.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

Bước 4.2.3.3

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

Bước 4.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

Bước 4.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

Bước 4.3.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

Bước 4.3.4

Cộng $\frac{1}{x^{2}}$ và $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

Bước 4.3.6

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Bước 4.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$