Giải tích Ví dụ

$\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Bước 1

Viết $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Bước 2.1.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ ở dạng ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 1$ với $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.3.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.3.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.3.7

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Bước 2.3.8

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Bước 2.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Kết hợp $- 12$ và $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 2.5.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [(2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 2) (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 2 x - 2$ và $g (x) = \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) (12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $2 x - 2$ .

$f'' (x) = - (12 \cdot (2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.3.2.2

Viết lại $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ ở dạng ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.3.2.3

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.3.2.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 2$ với $12$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5.7

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + 0)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.5.8

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.6

Nâng $2 x - 2$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.7

Nâng $2 x - 2$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{1 + 1} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.9

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Bước 3.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Bước 3.11

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Bước 3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Bước 3.13

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Bước 3.14

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Bước 3.15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Cộng $2$ và $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot 2)$

Bước 3.15.2

Kết hợp $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ và $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12 \cdot 2}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Bước 3.15.3

Nhân $12$ với $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Bước 3.16

Để viết $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Bước 3.17

Kết hợp $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ và $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Bước 3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.19

Nhân ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ với ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.1

Di chuyển ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.19.3

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.1

Viết lại ${(2 x - 2)}^{2}$ ở dạng $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.2

Khai triển $(2 x - 2) (2 x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3.1.4

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3.1.5

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3.1.6

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.3.2

Trừ $4 x$ khỏi $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 8 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{(- 24 (4 x^{2}) - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.5.1

Nhân $4$ với $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.5.2

Nhân $- 8$ với $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.5.3

Nhân $- 24$ với $4$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.6

Phân tích $x^{2} - 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.6.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 3.20.2.1.6.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.7

Nhân $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ với $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 x^{2} + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.8.1

Đưa $96$ ra ngoài $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.8.1.1

Đưa $96$ ra ngoài $- 96 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.1.2

Đưa $96$ ra ngoài $192 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.1.3

Đưa $96$ ra ngoài $- 96$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.1.4

Đưa $96$ ra ngoài $96 (- x^{2}) + 96 (2 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.1.5

Đưa $96$ ra ngoài $96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.8.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ và có tổng là $b = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.8.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2.1.2

Viết lại $2$ ở dạng $1$ cộng $1$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2.1.5

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.8.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x^{2} + x) + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x + 1) (x - 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.1.8.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.4

Viết lại $- (x - 1)$ ở dạng $- 1 (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.5

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.6

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.8.3.9

Nhân $96$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.2

Để viết $24$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24 \cdot \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.3

Kết hợp $24$ và $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.1

Đưa $24$ ra ngoài $- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 (x - 3) (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.1.1

Đưa $24$ ra ngoài $- 96 {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.1.2

Đưa $24$ ra ngoài $24 (x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.1.3

Đưa $24$ ra ngoài $24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.2

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 ((x - 1) (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.3

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.4.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.4.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.4.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.4.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.4.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.6.1

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.6.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.7

Khai triển $(x - 3) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x (x + 1) - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.2.5.8.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.8.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.8.1.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.8.2

Trừ $3 x$ khỏi $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.9

Cộng $- 4 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 8 x - 4 - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.10

Trừ $2 x$ khỏi $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 4 - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.5.11

Trừ $3$ khỏi $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) - (- 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.9

Viết lại $- 7$ ở dạng $- 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2} - 6 x) - 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.11

Viết lại $- (3 x^{2} - 6 x + 7)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.20.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.3.1

Viết lại $\frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = - (- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Bước 3.20.3.2

Nhân $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ với $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} ((x - 3) (x + 1))}$

Bước 3.20.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)})$

Bước 3.20.3.4

Nhân $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$

Bước 3.20.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Bước 3.20.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.5.1

Phân tích $x^{2} - 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.5.1.1

$- 3, 1$

Bước 3.20.5.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{((x - 3) (x + 1))}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Bước 3.20.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Bước 3.20.5.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.5.3.1

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} ((x + 1) {(x + 1)}^{2}) (x - 3)}$

Bước 3.20.5.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 2} (x - 3)}$

Bước 3.20.5.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3} (x - 3)}$

Bước 3.20.5.3.4

Nâng $x - 3$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3}}$

Bước 3.20.5.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 1)}^{3}}$

Bước 3.20.5.3.6

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Bước 5.1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ ở dạng ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 5.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 5.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Nhân $- 1$ với $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 5.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 5.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 5.1.3.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 5.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 5.1.3.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 5.1.3.7

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Bước 5.1.3.8

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Bước 5.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 5.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1.1

Kết hợp $- 12$ và $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 5.1.5.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 5.1.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = - (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 6.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 6.3

Đặt $2 x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đặt $2 x - 2$ bằng với $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Bước 6.3.2

Giải $2 x - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 2$

Bước 6.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Bước 6.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Bước 6.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Bước 6.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.3.1

Chia $2$ cho $2$ .

$x = 1$

Bước 6.4

Đặt $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đặt $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ bằng với $0$ .

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 6.4.2

Giải $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Cho tử bằng không.

$12 = 0$

Bước 6.4.2.2

Vì $12 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 6.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt mẫu số trong $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Bước 7.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Phân tích $x^{2} - 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

$- 3, 1$

Bước 7.2.1.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Bước 7.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 7.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 7.2.3

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 7.2.3.2

Giải ${(x - 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 7.2.3.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 7.2.4

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 7.2.4.2

Giải ${(x + 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 7.2.4.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 7.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ đúng.

$x = 3, - 1$

Bước 7.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{24 (3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 7)}{{((1) - 3)}^{3} {((1) + 1)}^{3}}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{24 (3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Bước 10.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Bước 10.1.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Bước 10.1.4

Trừ $6$ khỏi $3$ .

$\frac{24 (- 3 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Bước 10.1.5

Cộng $- 3$ và $7$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Bước 10.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} \cdot 2^{3}}$

Bước 10.2.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 2^{3}}$

Bước 10.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 8}$

Bước 10.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $24$ với $4$ .

$\frac{96}{- 8 \cdot 8}$

Bước 10.3.2

Nhân $- 8$ với $8$ .

$\frac{96}{- 64}$

Bước 10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $96$ và $- 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Đưa $32$ ra ngoài $96$ .

$\frac{32 (3)}{- 64}$

Bước 10.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.2.1

Đưa $32$ ra ngoài $- 64$ .

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Bước 10.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Bước 10.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{- 2}$

Bước 10.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2}$

Bước 11

$x = 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực đại địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{12}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 \cdot 1 - 3}$

Bước 12.2.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 - 3}$

Bước 12.2.1.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 1 - 3}$

Bước 12.2.1.4

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 4}$

Bước 12.2.2

Chia $12$ cho $- 4$ .

$f (1) = - 3$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$y = - 3$

Bước 13

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ .

$(1, - 3)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 14