Giải tích Ví dụ

$p (t) = \frac{500 t}{2 t^{2} + 9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = 500 t$ và $g (t) = 2 t^{2} + 9$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \frac{d}{d t} [500 t] - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $500$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $500 t$ đối với $t$ là $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \cdot 1) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 2.3

Nhân $500$ với $1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t^{2} + 9$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{2}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $9$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.2

Cộng $4 t$ và $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t^{2} \cdot 500 + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $500$ với $2$ .

$\frac{1000 t^{2} + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $9$ với $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.1.4

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.1.4.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.1.5

Nhân $- 1 \cdot 500 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.1.5.2

Nhân $- 500$ với $4$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 2000 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Trừ $2000 t^{2}$ khỏi $1000 t^{2}$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.3

Đưa $500$ ra ngoài $- 1000 t^{2} + 4500$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $500$ ra ngoài $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Đưa $500$ ra ngoài $4500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.3.3

Đưa $500$ ra ngoài $500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.5

Viết lại $9$ ở dạng $- 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 t^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.7

Viết lại $- (2 t^{2} - 9)$ ở dạng $- 1 (2 t^{2} - 9)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$