Giải tích Ví dụ

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ là $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ trong đó $f (v) = v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ và $g (v) = v$ .

$\frac{v \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v \sqrt{v}] - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ .

$\frac{v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{v}$ ở dạng $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $v$ với $v^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v)]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.2.2

Nhân $v^{\frac{1}{2}}$ với $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + 1}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ đối với $v$ là $- 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.8.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 2 (3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.11

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 6 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.12

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 3 v^{\frac{1}{2}}}{1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 3.13.4

Chia $- 3 v^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) + (- v^{3} - (- 2 v \sqrt{v})) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 v \cdot v^{2} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.2

Nhân $v$ với $v^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.2.1

Di chuyển $v^{2}$ .

$\frac{3 (v^{2} v) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.2.2

Nhân $v^{2}$ với $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.2.2.1

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (v^{2} v^{1}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 v^{2 + 1} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3 v^{3} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 v^{3} - 3 v \cdot v^{\frac{1}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.4

Nhân $v$ với $v^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.4.1

Di chuyển $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.4.2

Nhân $v^{\frac{1}{2}}$ với $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.4.2.1

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v^{1}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + 1} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1 + 2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.4.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.6

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 (v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Bước 5.4.1.7

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

Bước 5.4.2

Trừ $v^{3}$ khỏi $3 v^{3}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

Bước 5.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{v}$ ở dạng $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v^{2}}$

Bước 5.5.2

Nhân $v$ với $v^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Di chuyển $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v^{2}}$

Bước 5.5.2.2

Nhân $v^{\frac{1}{2}}$ với $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v^{2}}$

Bước 5.5.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v^{2}}$

Bước 5.5.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v^{2}}$

Bước 5.5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v^{2}}$

Bước 5.5.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Bước 5.5.3

Cộng $- 3 v^{\frac{3}{2}}$ và $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Bước 5.5.4

Đưa $v^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Đưa $v^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $2 v^{3}$ .

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Bước 5.5.4.2

Đưa $v^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $- v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{v^{2}}$

Bước 5.5.4.3

Đưa $v^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}} - 1)}{v^{2}}$

Bước 5.5.5

Di chuyển $v^{\frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2} v^{- \frac{3}{2}}}$

Bước 5.5.6

Nhân $v^{2}$ với $v^{- \frac{3}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 - \frac{3}{2}}}$

Bước 5.5.6.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Bước 5.5.6.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Bước 5.5.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Bước 5.5.6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.6.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Bước 5.5.6.5.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{1}{2}}}$