Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ , $x = 1$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 1$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Bước 3

Tính $f (1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Bước 3.2

Rút gọn $\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{π}{6}$ với $1$ .

$\cos (\frac{π}{6})$

Bước 3.2.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{π}{6} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{π}{6} x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Bước 4.1.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Bước 4.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{π}{6} x$ .

$- \sin (\frac{π}{6} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Kết hợp $\frac{π}{6}$ và $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Bước 4.1.2.2

Kết hợp $\frac{π}{6}$ và $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}]$

Bước 4.1.2.3

Vì $\frac{π}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{π x}{6}$ đối với $x$ là $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $\frac{π}{6}$ và $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Bước 4.1.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$- \frac{π \sin (\frac{π (1)}{6})}{6}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $π$ với $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π}{6})}{6}$

Bước 4.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \frac{1}{2}}{6}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Bước 4.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6})$

Bước 4.3.5

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 6}$

Bước 4.3.5.2

Nhân $2$ với $6$ .

$- \frac{π}{12}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} (x - 1)$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} x - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Bước 6.2

Kết hợp $x$ và $\frac{π}{12}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Bước 6.3

Nhân $- \frac{π}{12} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + 1 (\frac{π}{12})$

Bước 6.3.2

Nhân $\frac{π}{12}$ với $1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + \frac{π}{12}$

Bước 7