Giải tích Ví dụ

$8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Bước 1

Viết $8 \sin (x) \cos (x)$ ở dạng một phương trình.

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$

Bước 2

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $\frac{π}{3}$ vào cho $x$ .

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Bước 2.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Bước 2.2.2

Rút gọn $8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$y = 2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = 4 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

Bước 2.2.2.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$y = 4 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Bước 2.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{3}$ .

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Bước 2.2.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Bước 2.2.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = 2 \sqrt{3}$

Bước 3

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{3}$ và $y = 2 \sqrt{3}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 3.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 3.10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Bước 3.13.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Bước 3.14

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.3.5

Tính số mũ.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.6

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 3.15.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 3.15.1.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Bước 3.15.1.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Bước 3.15.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Bước 3.15.1.11

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Bước 3.15.1.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Bước 3.15.1.11.3

Viết lại biểu thức.

$- 6 + 2$

Bước 3.15.2

Cộng $- 6$ và $2$ .

$- 4$

Bước 4

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng hệ số góc $- 4$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{3}, 2 \sqrt{3})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 \sqrt{3}) = - 4 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Bước 4.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 4.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn $- 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại.

$y - 2 \sqrt{3} = 0 + 0 - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x - 4 (- \frac{π}{3})$

Bước 4.3.1.4

Nhân $- 4 (- \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + 4 \frac{π}{3}$

Bước 4.3.1.4.2

Kết hợp $4$ và $\frac{π}{3}$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + \frac{4 π}{3}$

Bước 4.3.2

Cộng $2 \sqrt{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Bước 4.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Để viết $2 \sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 4.3.3.2

Kết hợp $2 \sqrt{3}$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 4.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - 4 x + \frac{4 π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 4.3.3.4

Nhân $3$ với $2$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π + 6 \sqrt{3}}{3}$

Bước 5