Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3} + 9 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 9 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 (2 x))$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $9$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 18 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$ .

$- (3 x^{2} + 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- (3 x^{2}) - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Bước 4.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5

Nhân $18$ với $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Bước 4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} + 9 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + 9 x^{2})}^{2}}$

Bước 4.6.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 9)}^{2}}$

Bước 4.6.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} \cdot 9$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} (x + 9))}^{2}}$

Bước 4.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x^{2} (x + 9)$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2})}^{2} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.6.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{2 \cdot 2} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.6.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.7

Nhân $- 3 x^{2} - 18 x$ với $\frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.8

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 3 x^{2} - 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 x (- x) - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.8.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 18 x$ .

$\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.8.3

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x (- x) + 3 x (- 6)$ .

$\frac{3 x (- x - 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.9

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x (- x - 6)$ .

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} {(x + 9)}^{2}$ .

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Bước 4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Bước 4.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (- x - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.11

Viết lại $- 6$ ở dạng $- 1 (6)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{3 (- (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.13

Viết lại $- (x + 6)$ ở dạng $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Bước 4.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 (x + 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$