Giải tích Ví dụ

$\ln^{4} (1 + e^{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \ln (1 + e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (1 + e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (1 + e^{x})$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{1 + e^{x}}$ và $e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Bước 6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ và $4$ .

$\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}} \ln^{3} (1 + e^{x})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}}$ và $\ln^{3} (1 + e^{x})$ .

$\frac{e^{x} \cdot 4 \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$

Bước 6.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x} \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$