Giải tích Ví dụ

${(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x - 7$ và $g (x) = 6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot (6 x + 3) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.8

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.10

Nhân $6$ với $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.11

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + 0)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Cộng $6$ và $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) \cdot 6}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.12.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $6$ với $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $3$ với $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.3.1.3

Nhân $3$ với $- 6$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.3.1.4

Nhân $- 6$ với $- 7$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $18 x + 9 - 18 x + 42$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Trừ $18 x$ khỏi $18 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{0 + 9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $0$ và $9$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.3.3

Cộng $9$ và $42$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Bước 4.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3)}^{2}}$

Bước 4.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3 (1))}^{2}}$

Bước 4.4.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x + 1))}^{2}}$

Bước 4.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (2 x + 1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{3^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $51$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $51$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 {(2 x + 1)}^{2}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Bước 4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot 17}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Bước 4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 \frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \cdot \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Nhân $\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ với $\frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3} \cdot 17}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Bước 5.2.3

Nhân $17$ với $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Bước 5.2.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(6 x + 3)}^{3}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(6 x + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3 (1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x + 1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (2 x + 1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $3$ với $3^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Nhân $3$ với $3^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1} \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1 + 3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.3.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Nhân ${(2 x + 1)}^{3}$ với ${(2 x + 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Di chuyển ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} ({(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{3})}$

Bước 5.3.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{2 + 3}}$

Bước 5.3.3.2.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{5}}$

Bước 5.3.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{81 {(2 x + 1)}^{5}}$