Giải tích Ví dụ

$0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Bước 1

Viết $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $0.05$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $0.05 x$ đối với $x$ là $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Bước 2.1.2.3

Nhân $0.05$ với $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Bước 2.1.3

Vì $15$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $15$ đối với $x$ là $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Bước 2.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $500$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{500}{x}$ đối với $x$ là $500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.4.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 500 (- x^{- 2})$

Bước 2.1.4.4

Nhân $- 1$ với $500$ .

$0.05 + 0 - 500 x^{- 2}$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.2.1

Cộng $0.05$ và $0$ .

$0.05 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.1.5.2.2

Kết hợp $- 500$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 500}{x^{2}}$

Bước 2.1.5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0.05 - \frac{500}{x^{2}}$

Bước 2.1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Bước 3.2

Trừ $0.05$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$

Bước 3.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2}, 1$

Bước 3.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 3.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ với $x^{2}$ .

$- \frac{500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{500}{x^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Bước 3.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 500 = - 0.05 x^{2}$

Bước 3.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 0.05 x^{2} = - 500$ .

$- 0.05 x^{2} = - 500$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- 0.05 x^{2} = - 500$ cho $- 0.05$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 0.05 x^{2} = - 500$ cho $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 0.05$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Bước 3.5.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Chia $- 500$ cho $- 0.05$ .

$x^{2} = 10000$

Bước 3.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{10000}$

Bước 3.5.4

Rút gọn $\pm \sqrt{10000}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Viết lại $10000$ ở dạng $100^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{100^{2}}$

Bước 3.5.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 100$

Bước 3.5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 100$

Bước 3.5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 100$

Bước 3.5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 100, - 100$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $100, - 100$ .

$100, - 100$

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt mẫu số trong $\frac{500}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 5.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 5.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 5.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 100) \cup (- 100, 0) \cup (0, 100) \cup (100, \infty)$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 100)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 101$ trong biểu thức.

$f' (- 101) = - \frac{500}{{(- 101)}^{2}} + 0.05$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $- 101$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Bước 7.2.2

Để viết $0.05$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Bước 7.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Kết hợp $0.05$ và $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Bước 7.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Bước 7.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Nhân $0.05$ với $10201$ .

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Bước 7.2.4.2

Cộng $- 500$ và $510.05$ .

$f' (- 101) = \frac{10.05}{10201}$

Bước 7.2.5

Chia $10.05$ cho $10201$ .

$f' (- 101) = 0.00098519$

Bước 7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $0.00098519$ .

$0.00098519$

Bước 7.3

Tại $x = - 101$ đạo hàm là $0.00098519$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, - 100)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 100)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(- 100, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 50$ trong biểu thức.

$f' (- 50) = - \frac{500}{{(- 50)}^{2}} + 0.05$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $- 50$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Bước 8.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $500$ và $2500$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.2.1

Đưa $500$ ra ngoài $500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Bước 8.2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.2.2.1

Đưa $500$ ra ngoài $2500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Bước 8.2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Bước 8.2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Bước 8.2.2

Để viết $0.05$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Kết hợp $0.05$ và $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Bước 8.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Bước 8.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Nhân $0.05$ với $5$ .

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Bước 8.2.4.2

Cộng $- 1$ và $0.25$ .

$f' (- 50) = \frac{- 0.75}{5}$

Bước 8.2.5

Chia $- 0.75$ cho $5$ .

$f' (- 50) = - 0.15$

Bước 8.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.15$ .

$- 0.15$

Bước 8.3

Tại $x = - 50$ đạo hàm là $- 0.15$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 100, 0)$ .

Giảm trên $(- 100, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 100)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $50$ trong biểu thức.

$f' (50) = - \frac{500}{{(50)}^{2}} + 0.05$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nâng $50$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Bước 9.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $500$ và $2500$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Đưa $500$ ra ngoài $500$ .

$f' (50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Bước 9.2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.2.1

Đưa $500$ ra ngoài $2500$ .

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Bước 9.2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Bước 9.2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Bước 9.2.2

Để viết $0.05$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Bước 9.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Kết hợp $0.05$ và $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Bước 9.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Bước 9.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Nhân $0.05$ với $5$ .

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Bước 9.2.4.2

Cộng $- 1$ và $0.25$ .

$f' (50) = \frac{- 0.75}{5}$

Bước 9.2.5

Chia $- 0.75$ cho $5$ .

$f' (50) = - 0.15$

Bước 9.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.15$ .

$- 0.15$

Bước 9.3

Tại $x = 50$ đạo hàm là $- 0.15$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 100)$ .

Giảm trên $(0, 100)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 10

Thay một giá trị từ khoảng $(100, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $x$ bằng $101$ trong biểu thức.

$f' (101) = - \frac{500}{{(101)}^{2}} + 0.05$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $101$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Bước 10.2.2

Để viết $0.05$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Bước 10.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Kết hợp $0.05$ và $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Bước 10.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Bước 10.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Nhân $0.05$ với $10201$ .

$f' (101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Bước 10.2.4.2

Cộng $- 500$ và $510.05$ .

$f' (101) = \frac{10.05}{10201}$

Bước 10.2.5

Chia $10.05$ cho $10201$ .

$f' (101) = 0.00098519$

Bước 10.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $0.00098519$ .

$0.00098519$

Bước 10.3

Tại $x = 101$ đạo hàm là $0.00098519$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(100, \infty)$ .

Tăng trên $(100, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 11

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, - 100), (100, \infty)$

Giảm trên: $(- 100, 0), (0, 100)$

Bước 12