Giải tích Ví dụ

$h (x) = \frac{{(4 x - 2)}^{4}}{{(- 5 x + 1)}^{5}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(4 x - 2)}^{4}$ và $g (x) = {(- 5 x + 1)}^{5}$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{4}] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{({(- 5 x + 1)}^{5})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${({(- 5 x + 1)}^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{4}] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{5 \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{4}] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 4 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x - 2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [4 x - 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x - 2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} (4 {(4 x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(- 5 x + 1)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4.5

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4.6

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 + 0) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} \cdot 4 - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 4.7.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = - 5 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 5 x + 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 5 x + 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} (5 {(- 5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.3

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.5

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 + 0))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Cộng $- 5$ và $0$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} \cdot - 5)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.7.2

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của ${(- 5 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} (- 5 \cdot {(- 5 x + 1)}^{4})}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 6.7.3

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} + 25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ ra ngoài $16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} + 25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Đưa ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ ra ngoài $16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1)) + 25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.1.2

Đưa ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ ra ngoài $25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1)) + {(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.1.3

Đưa ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ ra ngoài ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1)) + {(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (25 (4 x - 2))$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(2 (2 x) - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(2 (2 x) + 2 (- 1))}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(2 (2 x - 1))}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (2 x - 1)$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 2^{3} {(2 x - 1)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (16 (- 5 x) + 16 \cdot 1 + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.5.2

Nhân $- 5$ với $16$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 \cdot 1 + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.5.3

Nhân $16$ với $1$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 25 (4 x) + 25 \cdot - 2)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.5.5

Nhân $4$ với $25$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 100 x + 25 \cdot - 2)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.5.6

Nhân $25$ với $- 2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 100 x - 50)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.6

Cộng $- 80 x$ và $100 x$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (20 x + 16 - 50)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.7

Trừ $50$ khỏi $16$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (20 x - 34)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.8

Đưa $2$ ra ngoài $20 x - 34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $20 x$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (2 (10 x) - 34)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.8.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 34$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (2 (10 x) + 2 (- 17))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.8.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (10 x) + 2 (- 17)$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (2 (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2 (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.1.9

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của ${(- 5 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{16 \cdot {(- 5 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 5 x + 1)}^{4}$ và ${(- 5 x + 1)}^{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa ${(- 5 x + 1)}^{4}$ ra ngoài $16 {(- 5 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} (16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Đưa ${(- 5 x + 1)}^{4}$ ra ngoài ${(- 5 x + 1)}^{10}$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} (16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{6}}$

Bước 7.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} (16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{6}}$

Bước 7.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{6}}$