Giải tích Ví dụ

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Bước 1.2

Giải $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Bước 1.2.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Viết lại $\ln (7 e^{x})$ ở dạng $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Bước 1.2.2.2

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Bước 1.2.2.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Bước 1.2.2.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Bước 1.2.3

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $\ln (7 x e^{x})$ ở dạng $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Bước 1.2.3.2

Viết lại $\ln (7 x)$ ở dạng $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Bước 1.2.3.3

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Bước 1.2.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Bước 1.2.3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Bước 1.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Bước 1.2.5

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Bước 1.2.6

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Bước 1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Bước 1.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Bước 1.2.8

Cộng $- x$ và $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Bước 1.2.9

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Bước 1.2.10

Viết lại $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Bước 1.2.11

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Bước 1.2.11.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Bước 1.2.11.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Bước 1.2.11.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x + y = 7 x e^{x}$

Bước 1.2.11.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = 1$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = 1$ với $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Bước 1.2.11.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Bước 1.2.11.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = 1 x$

Bước 1.2.11.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.4.3.1

Nhân $x$ với $1$ .

$1 = x$

Bước 1.2.11.5

Viết lại phương trình ở dạng $x = 1$ .

$x = 1$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Bước 1.3.2

Thế $1$ vào $x$ trong $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 7 (1) \cdot e$

Bước 1.3.2.2

Nhân $7$ với $1$ .

$y = 7 e$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(1, 7 e)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Bước 3.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Bước 3.4

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Bước 3.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Bước 3.6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Bước 3.7

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 7$ ra khỏi tích phân.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Bước 3.8

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Bước 3.9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Tính $x e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Bước 3.9.2

Tính $e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Bước 3.9.3

Tính $e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.4.1

Rút gọn.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.2

Nhân $e$ với $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.4

Nhân $0$ với $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.5

Cộng $e$ và $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.6

Rút gọn.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.7

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Bước 3.9.4.9

Rút gọn.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Bước 3.9.4.10

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Bước 3.9.4.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Bước 3.10.1.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Bước 3.10.1.2

Trừ $e$ khỏi $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Bước 3.10.1.3

Cộng $0$ và $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Bước 3.10.1.4

Nhân $7$ với $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Bước 3.10.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Bước 3.10.1.6

Nhân $- 7$ với $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Bước 3.10.2

Cộng $7$ và $7$ .

$14 - 7 e$

Bước 4