Giải tích Ví dụ

$y = (x^{2} - 99) e^{x}$

Bước 1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

Bước 2

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 99$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 99 e^{x}$ đối với $x$ là $- 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$

Bước 4

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$

Bước 4.1.1.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x} = 0$

Bước 4.1.1.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- 99 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

Bước 4.1.1.4

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

Bước 4.1.1.5

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 99) = 0$

Bước 4.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Phân tích $x^{2} + 2 x - 99$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 99$ và tổng của chúng là $2$ .

$- 9, 11$

Bước 4.1.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$e^{x} ((x - 9) (x + 11)) = 0$

Bước 4.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$

Bước 4.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 11 = 0$

Bước 4.3

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 4.3.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 4.3.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 4.3.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 4.4

Đặt $x - 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đặt $x - 9$ bằng với $0$ .

$x - 9 = 0$

Bước 4.4.2

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 9$

Bước 4.5

Đặt $x + 11$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đặt $x + 11$ bằng với $0$ .

$x + 11 = 0$

Bước 4.5.2

Trừ $11$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 11$

Bước 4.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$ đúng.

$x = 9, - 11$

Bước 5

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ tại $x = 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $9$ trong biểu thức.

$f (9) = {(9)}^{2} e^{9} - 99 e^{9}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$f (9) = 81 e^{9} - 99 e^{9}$

Bước 5.2.2

Trừ $99 e^{9}$ khỏi $81 e^{9}$ .

$f (9) = - 18 e^{9}$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 18 e^{9}$ .

$- 18 e^{9}$

Bước 6

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ tại $x = - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 11$ trong biểu thức.

$f (- 11) = {(- 11)}^{2} e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 11$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 11) = 121 e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

Bước 6.2.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 11) = 121 (\frac{1}{e^{11}}) - 99 e^{- 11}$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp $121$ và $\frac{1}{e^{11}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 e^{- 11}$

Bước 6.2.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 \frac{1}{e^{11}}$

Bước 6.2.1.5

Kết hợp $- 99$ và $\frac{1}{e^{11}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} + \frac{- 99}{e^{11}}$

Bước 6.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - \frac{99}{e^{11}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 11) = \frac{121 - 99}{e^{11}}$

Bước 6.2.2.2

Trừ $99$ khỏi $121$ .

$f (- 11) = \frac{22}{e^{11}}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{22}{e^{11}}$ .

$\frac{22}{e^{11}}$

Bước 7

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ là $y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$ .

$y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$

Bước 8