Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 2.2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 2.2.6

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 2.2.7

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

Bước 2.2.8

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

Bước 2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 4.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 4.1.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 4.1.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x - \frac{1}{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

Bước 5.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x, 1$

Bước 5.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 5.3

Nhân mỗi số hạng trong $x - \frac{1}{x} = 0$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $x - \frac{1}{x} = 0$ với $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - 1 = 0 x$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $0$ với $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Bước 5.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 1$

Bước 5.4.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 5.4.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 5.4.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 5.4.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 5.4.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{1} + 1$

Bước 9.1.2

Chia $1$ cho $1$ .

$1 + 1$

Bước 9.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2$

Bước 10

$x = 1$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

Bước 11.2.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

Bước 11.2.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

Bước 11.2.2

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13