Giải tích Ví dụ

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$27 - x^{3} = 0$

Bước 1.2

Giải $27 - x^{3} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $27$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{3} = - 27$

Bước 1.2.2

Cộng $27$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{3} + 27 = 0$

Bước 1.2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{3} + 27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 27 = 0$

Bước 1.2.3.1.2

Viết lại $27$ ở dạng $- 1 (- 27)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

Bước 1.2.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ .

$- (x^{3} - 27) = 0$

Bước 1.2.3.2

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Bước 1.2.3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Bước 1.2.3.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.4.1.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Bước 1.2.3.4.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Bước 1.2.3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Bước 1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 1.2.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 1.2.6

Đặt $x^{2} + 3 x + 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $x^{2} + 3 x + 9$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Bước 1.2.6.2

Giải $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Bước 1.2.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 3$ , và $c = 9$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Bước 1.2.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.4.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.4.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.4.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.6.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.6.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.5.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.5.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.5.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.6.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.6.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ đúng.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.3

Thay $3$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2

Sắp xếp lại $27$ và $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 27$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $1$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

Bước 4.2

Trừ $0$ khỏi $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

Bước 4.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Bước 4.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Bước 4.6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Bước 4.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

Bước 4.8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $3$ và tại $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

Bước 4.8.2

Tính $27 x$ tại $3$ và tại $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.4

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.5.2.4

Chia $20$ cho $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.6

Nhân $- 1$ với $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.7

Nhân $27$ với $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

Bước 4.8.3.8

Nhân $- 27$ với $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

Bước 4.8.3.9

Trừ $27$ khỏi $81$ .

$- 20 + 54$

Bước 4.8.3.10

Cộng $- 20$ và $54$ .

$34$

Bước 5