Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{24}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{24} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{4}{24}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{6} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{3}{6}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 (x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.4.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.4.4

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.4.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.5.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1 + 0$

Bước 1.5.3

Cộng $\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{3}}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $\frac{3}{6}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.4

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + 1 + 0$

Bước 2.4.3

Cộng $\frac{x^{2}}{2} + x + 1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2}}{2} + x + 1$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x^{2}}{2} + x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + 1$