Giải tích Ví dụ

$f (x) = (x - 6) e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 6$ và $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Bước 1.3.3

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Bước 1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Bước 1.3.4.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x e^{x} - 6 e^{x} + e^{x}$

Bước 1.4.2

Cộng $- 6 e^{x}$ và $e^{x}$ .

$x e^{x} - 5 e^{x}$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x - 5 e^{x}$

Bước 1.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x - 5 e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} - 5 e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} - 5 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Bước 2.2.4

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 e^{x}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $5 e^{x}$ khỏi $e^{x}$ .

$x e^{x} - 4 e^{x}$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x - 4 e^{x}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x - 4 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} - 4 e^{x}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $x e^{x} - 4 e^{x}$ .

$x e^{x} - 4 e^{x}$