Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (\frac{x}{4})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{4}$ .

$\cos (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{4}) (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\cos (\frac{x}{4})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1$

Bước 1.2.4

Nhân $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{4})]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{4})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \sin (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{\sin (\frac{x}{4})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4 \cdot 4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3.2

Nhân $4$ với $4$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16} \cdot 1$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16}$