Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (\frac{π x}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{π x}{2}$ .

$- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{π}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{π x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Bước 1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = - \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- \frac{π}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{2})]$ .

$- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{2})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{π x}{2}$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- \frac{π}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{π x}{2}$ .

$- \frac{π}{2} (\cos (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $\cos (\frac{π x}{2})$ và $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{π}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{π x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{π (\cos (\frac{π x}{2}) π)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{π^{1} π \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{π^{1} π^{1} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{π^{1 + 1} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4} \cdot 1$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$