Giải tích Ví dụ

$f (x) = 0.866 x + \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $0.866 x + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [0.866 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [0.866 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [0.866 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $0.866$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $0.866 x$ đối với $x$ là $0.866 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.866 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0.866 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $0.866$ với $1$ .

$0.866 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0.866 + \cos (x)$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $0.866 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [0.866] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [0.866] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.1.2

Vì $0.866$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0.866$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Bước 1.2.3

Trừ $\sin (x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \sin (x) = 0$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 2.2.2.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 2.6

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm điểm bằng cách thay thế trong $f (x) = 0.866 x + \sin (x)$ là $(,)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(,)$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty,)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.1) = - \sin (- 0.1)$

Bước 5.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \sin (- 0.1)$ .

$- \sin (- 0.1)$

Bước 5.3

Tại $- 0.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.09983341$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty,)$ .

Tăng trên $(- \infty,)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.1$ trong biểu thức.

$f'' (0.1) = - \sin (0.1)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \sin (0.1)$ .

$- \sin (0.1)$

Bước 6.3

Tại $0.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.09983341$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(, \infty)$

Giảm trên $(, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(,)$ .

$(,)$

Bước 8