Giải tích Ví dụ

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm của hàm số. Để tìm hệ số góc của phương trình tiếp tuyến với đường thẳng, hãy tính đạo hàm tại giá trị mong muốn của $x$ .

$\frac{d}{d x} (\sec (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 3

Đạo hàm của phương trình theo $y$ cũng có thể được biểu diễn dưới dạng $f' (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Bước 4

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{6}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{π}{6}) = \sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Bước 5

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{6})$ là $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 6

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 7.6.5

Tính số mũ.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Bước 8

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Nhân $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Bước 9.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Bước 9.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Bước 9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Bước 9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Bước 9.6

Nhân $3$ với $3$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Bước 10

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Bước 10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Bước 10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Bước 10.4.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

Bước 10.5

Tính số mũ.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

Bước 11

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{6}{9}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 (2)}{9}$

Bước 12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Bước 12.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$

Bước 13

Đạo hàm tại $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ là $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$