Giải tích Ví dụ

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$h (x)$ liên tục trên $[0, π]$ .

$h (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $h$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Bước 5

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Bước 6

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 6.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Bước 6.5.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Bước 6.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\frac{u^{5}}{5}$ tại $- 1$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Bước 11.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Bước 11.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Bước 11.2.4

Trừ $\frac{1}{5}$ khỏi $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Bước 11.2.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Bước 11.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Bước 11.2.7

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Bước 11.2.8

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Bước 11.2.9

Nhân $6$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Bước 12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Bước 12.2

Cộng $π$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Bước 13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $\frac{1}{π}$ với $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Bước 13.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Bước 14