Giải tích Ví dụ

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $g (t)$ có liên tục trên $[2, 5]$ không, hãy tìm tập xác định của $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{5 + t^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$5 + t^{2} \geq 0$

Bước 1.2

Giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$t^{2} \geq - 5$

Bước 1.2.2

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Bước 1.3

Đặt mẫu số trong $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Bước 1.4

Giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5 + t^{2}}$ ở dạng ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.2

Rút gọn.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Bước 1.4.3

Giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$t^{2} = - 5$

Bước 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Bước 1.4.3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.3.1

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Bước 1.4.3.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (5)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Bước 1.4.3.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Bước 1.4.3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$t = i \sqrt{5}$

Bước 1.4.3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$t = - i \sqrt{5}$

Bước 1.4.3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Bước 1.5

Tập xác định là tất cả các số thực.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${t | t \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${t | t \in ℝ}$

Bước 2

$g (t)$ liên tục trên $[2, 5]$ .

$g (t)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $g$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Bước 5

Giả sử $u = 5 + t^{2}$ . Sau đó $d u = 2 t d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 5 + t^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 5.1.3

Vì $5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $5$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Bước 5.1.5

Cộng $0$ và $2 t$ .

$2 t$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Bước 5.3.2

Cộng $5$ và $4$ .

$u_{lower} = 9$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Bước 5.5.2

Cộng $5$ và $25$ .

$u_{upper} = 30$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Bước 6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Bước 8.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Bước 8.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Bước 8.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $30$ và tại $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Bước 10.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Bước 10.2.4

Tính số mũ.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Bước 10.2.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Bước 11.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Bước 11.3.3

Viết lại biểu thức.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Bước 12

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Bước 13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Bước 14

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Bước 15

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Bước 15.3

Viết lại biểu thức.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Bước 16