Giải tích Ví dụ

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ , $(4, \frac{7}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = \frac{7}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 1.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Bước 1.8.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Bước 1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Bước 1.10

Kết hợp $x^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 1.11

Nhân $- 1$ với $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.12

Kết hợp $- 7$ và $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.13.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.14

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$- \frac{7}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.15.1.2

Nhân các số mũ trong ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Bước 1.15.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Bước 1.15.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{3}}$

Bước 1.15.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{7}{2^{1 + 3}}$

Bước 1.15.1.4

Cộng $1$ và $3$ .

$- \frac{7}{2^{4}}$

Bước 1.15.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$- \frac{7}{16}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{7}{16}$ và một điểm đã cho $(4, \frac{7}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7}{2}) = - \frac{7}{16} \cdot (x - (4))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{7}{2} = 0 + 0 - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} x - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{7}{16}$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{7}{16}$ vào tử số.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{16} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 (4)} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.5

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.2.4

Kết hợp $\frac{- 7}{4}$ và $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7 \cdot - 1}{4}$

Bước 2.3.1.2.5

Nhân $- 7$ với $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{7}{4}$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $\frac{7}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2}$

Bước 2.3.2.2

Để viết $\frac{7}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Nhân $\frac{7}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{4}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 7 \cdot 2}{4}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $7$ với $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 14}{4}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $7$ và $14$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{21}{4}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{7}{16} x) + \frac{21}{4}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{7}{16} x + \frac{21}{4}$

Bước 3