Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{6}$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 4 + \csc (x)$ và $g (x) = 8 - \csc (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + \csc (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 - \csc (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.4.2

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \csc (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.4.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.4.5.2

Nhân $4 + \csc (x)$ với $1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.5

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.2

Nhân $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.2.2

Nhân $\csc (x)$ với $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.2.3

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.2.4

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.5

Nhân $- \csc (x) \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1.5.1

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.5.2

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.1.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1

Trừ $\csc^{2} (x) \cot (x)$ khỏi $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.2.2

Cộng $- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ và $0$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.3.3

Trừ $4 \csc (x) \cot (x)$ khỏi $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Bước 1.7

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{6}$ .

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Bước 1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1.1

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{6})$ là $2$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Bước 1.8.1.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{6})$ là $\sqrt{3}$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Bước 1.8.1.3

Nhân $12$ với $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Bước 1.8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.2.1

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{6})$ là $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

Bước 1.8.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

Bước 1.8.2.3

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

Bước 1.8.2.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

Bước 1.8.3

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.1

Đưa $12$ ra ngoài $24 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

Bước 1.8.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $36$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

Bước 1.8.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

Bước 1.8.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{6}, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ vào tử số.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.2.3.2

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Bước 2.3.1.2.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Bước 2.3.1.2.3.4

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Bước 2.3.1.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.1.2.3.6

Viết lại biểu thức.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Bước 2.3.1.2.4

Nhân $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{- π}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

Bước 2.3.1.2.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Bước 2.3.1.2.5.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Bước 2.3.1.2.5.3

Nhân $3$ với $3$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Bước 2.3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Bước 2.3.3.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Bước 3