Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{2} \arctan (x)$ ; $(1, \frac{π}{8})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = \frac{π}{8}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}$

Bước 1.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 x^{2}}$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2 x^{2} + 2}$

Bước 1.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2}$

Bước 1.4.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Bước 1.4.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1)}$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$\frac{1}{2 ({(1)}^{2} + 1)}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2 (1 + 1)}$

Bước 1.6.1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{4}$ và một điểm đã cho $(1, \frac{π}{8})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{π}{8} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 1$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{π}{8}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $- \frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{8}$

Bước 2.3.3.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{π}{8}$

Bước 2.3.3.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{8} + \frac{π}{8}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2 + π}{8}$

Bước 2.3.3.4

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) + π}{8}$

Bước 2.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $π$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{8}$

Bước 2.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2 - π)}{8}$

Bước 2.3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x}{4} - \frac{2 - π}{8}$

Bước 2.3.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{2 - π}{8}$

Bước 3