Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ đối với $x$ là $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ ở dạng ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (- {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $32$ .

$- 32 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Bước 1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 6 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Bước 1.1.3.4

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Bước 1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Bước 1.1.3.6

Nhân $- 6$ với $1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Bước 1.1.3.7

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Bước 1.1.3.8

Cộng $2 x - 6$ và $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1.1

Kết hợp $- 32$ và $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Bước 1.1.5.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Bước 1.1.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x - 6 = 0$

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Bước 2.3

Đặt $2 x - 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $2 x - 6$ bằng với $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Bước 2.3.2

Giải $2 x - 6 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 6$

Bước 2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 6$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 6$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Bước 2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Bước 2.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Bước 2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.3.1

Chia $6$ cho $2$ .

$x = 3$

Bước 2.4

Đặt $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ bằng với $0$ .

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Cho tử bằng không.

$32 = 0$

Bước 2.4.2.2

Vì $32 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ đúng.

$x = 3$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Phân tích $x^{2} - 6 x - 7$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 7$ và tổng của chúng là $- 6$ .

$- 7, 1$

Bước 3.2.1.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

${((x - 7) (x + 1))}^{2} = 0$

Bước 3.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x - 7) (x + 1)$ .

${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.3

Đặt ${(x - 7)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đặt ${(x - 7)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Bước 3.2.3.2

Giải ${(x - 7)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đặt $x - 7$ bằng $0$ .

$x - 7 = 0$

Bước 3.2.3.2.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 7$

Bước 3.2.4

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.4.2

Giải ${(x + 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 3.2.4.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ đúng.

$x = 7, - 1$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 1, x = 7$

Bước 4

Tính $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$\frac{32}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 7}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{32}{9 - 6 \cdot 3 - 7}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $- 6$ với $3$ .

$\frac{32}{9 - 18 - 7}$

Bước 4.1.2.1.3

Trừ $18$ khỏi $9$ .

$\frac{32}{- 9 - 7}$

Bước 4.1.2.1.4

Trừ $7$ khỏi $- 9$ .

$\frac{32}{- 16}$

Bước 4.1.2.2

Chia $32$ cho $- 16$ .

$- 2$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$\frac{32}{{(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 7}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{32}{1 - 6 \cdot - 1 - 7}$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$\frac{32}{1 + 6 - 7}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Cộng $1$ và $6$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Bước 4.2.2.2.2

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$\frac{32}{0}$

Bước 4.2.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{32}{0}$

Bước 4.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $7$ bằng $x$ .

$\frac{32}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 7}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{32}{49 - 6 \cdot 7 - 7}$

Bước 4.3.2.1.2

Nhân $- 6$ với $7$ .

$\frac{32}{49 - 42 - 7}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Trừ $42$ khỏi $49$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Bước 4.3.2.2.2

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$\frac{32}{0}$

Bước 4.3.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{32}{0}$

Bước 4.3.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(3, - 2)$

Bước 5