Giải tích Ví dụ

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Bước 1

Viết $\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}} d x$

Bước 4

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3} d x$

Bước 6

Khai triển $(3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 3 x^{2} x^{- 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Bước 6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 x^{2 - 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Bước 6.4

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Bước 6.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 (x^{1} x^{- 3}) + 3 x^{- 3} d x$

Bước 6.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{1 - 3} + 3 x^{- 3} d x$

Bước 6.7

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Bước 8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Bước 9

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Bước 10

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int 3 x^{- 3} d x$

Bước 12

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Bước 14.1.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Bước 14.2

Rút gọn.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Bước 14.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Bước 14.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$