Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (x)$ thành $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức pytago để chuyển đổi $1$ thành $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ khỏi ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Bước 6.2

Cộng ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ và ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Bước 6.3

Cộng $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ và $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 7

Nhân đối số với $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8

Kết hợp.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 9

Nhân ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ với $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 10

Viết lại $\sec (\frac{x}{2})$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Bước 11

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ ra ngoài $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Bước 11.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Bước 11.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 13

Giả sử $u = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 13.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 13.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 14.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Bước 14.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Bước 15

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Bước 16.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Bước 16.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Bước 16.3

Nhân $\int \sec^{2} (u) d u$ với $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Bước 17

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Bước 18

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Bước 19

Sắp xếp lại các số hạng.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

Bước 20

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (\frac{1}{2} x) + C$