Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} + 2 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

Bước 5.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

Bước 5.3.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

Bước 5.3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Bước 5.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Bước 5.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

Bước 5.3.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

Bước 6

Khai triển $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $x^{\frac{3}{2}}$ và $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6.7

Cộng $3$ và $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6.8

Sắp xếp lại $x^{\frac{5}{2}}$ và $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$