Giải tích Ví dụ

$4 t^{2} e^{- 2 t^{3}}$

Bước 1

Viết $4 t^{2} e^{- 2 t^{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (t) = 4 t^{2} e^{- 2 t^{3}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (t)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (t) = \int 4 t^{2} e^{- 2 t^{3}} d t$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int t^{2} e^{- 2 t^{3}} d t$

Bước 5

Giả sử $u = - 2 t^{3}$ . Sau đó $d u = - 6 t^{2} d t$ , nên $- \frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - 2 t^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- 2 t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$

Bước 5.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 2 t^{3}$ đối với $t$ là $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 2 (3 t^{2})$

Bước 5.1.4

Nhân $3$ với $- 2$ .

$- 6 t^{2}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{6}$ .

$4 \int - \frac{e^{u}}{6} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$- 4 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $- 4$ .

$\frac{- 4}{6} \int e^{u} d u$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{6} \int e^{u} d u$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Bước 10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Bước 10.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{2}{3} (e^{u} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$- \frac{2}{3} e^{u} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 t^{3}$ .

$- \frac{2}{3} e^{- 2 t^{3}} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (t) = 4 t^{2} e^{- 2 t^{3}}$ .

$F (t) =$ $- \frac{2}{3} e^{- 2 t^{3}} + C$