Giải tích Ví dụ

$16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Bước 1

Viết $16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 16 x d x + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Bước 5

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int x d x + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Bước 7

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 5 \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Bước 8

Giả sử $u = 9 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 9 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Bước 8.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 8.1.2.2

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 8.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 8.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 8.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 8.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 9.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 9.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 9.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Bước 11

Nhân $- 1$ với $5$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 5$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{- 5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 13.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 13.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 13.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 13.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 13.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 13.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

$8 x^{2} - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 15.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$8 x^{2} - 2 (\frac{5}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 15.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{5}{2}$ .

$8 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 5}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 15.2.3

Nhân $- 2$ với $5$ .

$8 x^{2} + \frac{- 10}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 15.2.4

Kết hợp $\frac{- 10}{2}$ và $u^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{2} + \frac{- 10 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Bước 15.2.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 10 u^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Bước 15.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C$

Bước 15.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C$

Bước 15.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$8 x^{2} + \frac{- 5 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C$

Bước 15.2.6.4

Chia $- 5 u^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$8 x^{2} - 5 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 - x^{2}$ .

$8 x^{2} - 5 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 x^{2} - 5 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$