Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{1 + 25 x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x$

Bước 4

Đưa $25$ ra ngoài $1 + 25 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $25$ ra ngoài $1$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{1}{25}) + 25 x^{2}} d x$

Bước 4.2

Đưa $25$ ra ngoài $25 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{1}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

Bước 4.3

Đưa $25$ ra ngoài $25 (\frac{1}{25}) + 25 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{1}{25} + x^{2})} d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{25}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{25}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{1}{25} + x^{2}} d x$

Bước 6

Viết lại $\frac{1}{25}$ ở dạng ${(\frac{1}{5})}^{2}$ .

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{{(\frac{1}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{1}{5})}^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{\frac{1}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C$ .

$\frac{1}{25} (\frac{1}{\frac{1}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C)$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{25} (1 \cdot 5 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C)$

Bước 8.1.2

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{1}{25} (5 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{5}}) + C)$

Bước 8.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{25} (5 \arctan (x \cdot 5) + C)$

Bước 8.1.4

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{25} (5 \arctan (5 x) + C)$

Bước 8.2

Viết lại $\frac{1}{25} (5 \arctan (5 x) + C)$ ở dạng $\frac{1}{25} \cdot 5 \arctan (5 x) + C$ .

$\frac{1}{25} \cdot 5 \arctan (5 x) + C$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\frac{1}{25}$ và $5$ .

$\frac{5}{25} \arctan (5 x) + C$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 (1)}{25} \arctan (5 x) + C$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} \arctan (5 x) + C$

Bước 8.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} \arctan (5 x) + C$

Bước 8.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} \arctan (5 x) + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \arctan (5 x) + C$