Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin^{2} (x)}{2}$

Bước 1

Viết $\frac{\sin^{2} (x)}{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{\sin^{2} (x)}{2} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 5

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Bước 11

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 11.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{4} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 12

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 14

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{4} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 17.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$\frac{x}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 17.4

Nhân $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{4 \cdot 2} + C$

Bước 17.4.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{8} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{8} \sin (2 x) + C$

Bước 19

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x - \frac{1}{8} \sin (2 x) + C$