Giải tích Ví dụ

$\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Bước 1

Viết $\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ ở dạng một hàm số.

$f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (u)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (u)$ .

$F (u) = \int f (u) d u$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (u) = \int \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 7

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 8.2

Nhân $u^{- \frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 8.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - (u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}) d u$

Bước 8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d u$

Bước 8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1 - 1}{2}} d u$

Bước 8.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{2}} d u$

Bước 8.7

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 (0)}{2}} d u$

Bước 8.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Bước 8.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Bước 8.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{1}} d u$

Bước 8.7.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{0} d u$

Bước 8.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 d u$

Bước 8.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 1 d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 1 d u$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C - u + C$

Bước 12

Rút gọn.

$2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$F (u) =$ $2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$