Giải tích Ví dụ

$19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Bước 1

Viết $19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ ở dạng một hàm số.

$f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (t)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (t) = \int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 5

Vì $19.21$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $19.21$ ra khỏi tích phân.

$19.21 \int \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 6

Giả sử $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Sau đó $d u_{1} = 1.7 d t$ , nên $\frac{1}{1.7} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1.7 t + 0.3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 6.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Vì $1.7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $1.7 t$ đối với $t$ là $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 6.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 6.1.3.3

Nhân $1.7$ với $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 6.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Vì $0.3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $0.3$ đối với $t$ là $0$ .

$1.7 + 0$

Bước 6.1.4.2

Cộng $1.7$ và $0$ .

$1.7$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$19.21 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 7

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{1.7}$ .

$19.21 \int \frac{\sin (u_{1})}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 8

Vì $\frac{1}{1.7}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{1.7}$ ra khỏi tích phân.

$19.21 (\frac{1}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{1.7}$ và $19.21$ .

$\frac{19.21}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 10

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 11

Vì $- 16.32$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 16.32$ ra khỏi tích phân.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Bước 12

Giả sử $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Sau đó $d u_{2} = 1.7 d t$ , nên $\frac{1}{1.7} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Bước 12.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1.7 t + 0.3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 12.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Vì $1.7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $1.7 t$ đối với $t$ là $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 12.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 12.1.3.3

Nhân $1.7$ với $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Bước 12.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Vì $0.3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $0.3$ đối với $t$ là $0$ .

$1.7 + 0$

Bước 12.1.4.2

Cộng $1.7$ và $0$ .

$1.7$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{1.7} d u_{2}$

Bước 13

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{1.7}$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \frac{\cos (u_{2})}{1.7} d u_{2}$

Bước 14

Vì $\frac{1}{1.7}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{1.7}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 (\frac{1}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{1.7}$ và $- 16.32$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{- 16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 15.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 16

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} (\sin (u_{2}) + C)$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn.

$11.3 (- \cos (u_{1})) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Bước 17.2

Nhân $- 1$ với $11.3$ .

$- 11.3 \cos (u_{1}) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Chia $16.32$ cho $1.7$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 1 \cdot 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Bước 19.2

Nhân $- 1$ với $9.6$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Bước 20

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ .

$F (t) =$ $- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$