Giải tích Ví dụ

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Bước 1

Viết ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ ở dạng $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

Bước 4.2

Khai triển $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.1.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.1.3

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.1.4

Nhân $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Bước 4.3.1.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Bước 4.3.1.4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Bước 4.3.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Bước 4.3.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Cộng $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 9

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 9.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 9.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

Bước 11

Rút gọn.

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$