Giải tích Ví dụ

$\tan^{-1} (π x)$

Bước 1

Viết $\tan^{-1} (π x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \tan^{-1} (π x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \tan^{-1} (π x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \tan^{-1} (π x)$ và $d v = 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int x \frac{π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Kết hợp $x$ và $\frac{π}{π^{2} x^{2} + 1}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int \frac{x π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $π$ ra khỏi tích phân.

$\tan^{-1} (π x) x - (π \int \frac{x}{π^{2} x^{2} + 1} d x)$

Bước 7

Giả sử $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 \cdot x π^{2} d x$ , nên $\frac{1}{2 π^{2}} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2} + 1]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $π^{2} x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 7.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Vì $π^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π^{2} x^{2}$ đối với $x$ là $π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 7.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$π^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 7.1.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π^{2}$ .

$2 π^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 7.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 π^{2} x + 0$

Bước 7.1.4.2

Cộng $2 π^{2} x$ và $0$ .

$2 π^{2} x$

Bước 7.1.5

Sắp xếp lại $2 π^{2}$ và $x$ .

$x (2 π^{2})$

Bước 7.1.6

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$2 \cdot x π^{2}$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2 π^{2}} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2 π^{2}}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u (2 π^{2})} d u$

Bước 8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{2 u π^{2}} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2 π^{2}}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2 π^{2}}$ ra khỏi tích phân.

$\tan^{-1} (π x) x - π (\frac{1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2 π^{2}}$ và $π$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $π$ và $π^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân với $1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $2 π^{2}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} (\ln (| u |) + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| u |) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \tan^{-1} (π x)$ .

$F (x) =$ $\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$