Giải tích Ví dụ

$\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Bước 1

Viết $\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \cos (π x) d x + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = π x$ . Sau đó $d u_{1} = π d x$ , nên $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = π x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Bước 5.1.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $π$ với $1$ .

$π$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Bước 6

Kết hợp $\cos (u_{1})$ và $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Bước 8

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Bước 9

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (\frac{x}{6}) d x$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{6} d x$ , nên $6 d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 10.1.2

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $\frac{1}{6}$ với $1$ .

$\frac{1}{6}$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u_{2}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 6) d u_{2}$

Bước 11.2

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \cdot 6 d u_{2}$

Bước 11.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int 6 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 12

Vì $6$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 (6 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Bước 13

Nhân $6$ với $6$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 14

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 (- \cos (u_{2}) + C)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) + 36 (- \cos (u_{2})) + C$

Bước 15.2

Nhân $- 1$ với $36$ .

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $π x$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{x}{6}) + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$