Giải tích Ví dụ

$y = 6 - \frac{5}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = - \frac{5 x}{2} + 6$

Bước 2

Rút gọn hàm được tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(- \frac{5 x}{2} + 6)}^{2}$ ở dạng $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ .

$V = (- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Bước 2.2

Khai triển $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2} + 6) + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $- \frac{5 x}{2} (- \frac{5 x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = 1 (\frac{5 x}{2}) \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.2

Nhân $\frac{5 x}{2}$ với $1$ .

$V = \frac{5 x}{2} \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.3

Nhân $\frac{5 x}{2}$ với $\frac{5 x}{2}$ .

$V = \frac{5 x (5 x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $5$ với $5$ .

$V = \frac{25 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$V = \frac{25 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.8

Cộng $1$ và $1$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.1.9

Nhân $2$ với $2$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5 x}{2}$ vào tử số.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 (3)) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 \cdot 3) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 5 x \cdot 3 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.3

Nhân $3$ với $- 5$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5 x}{2}$ vào tử số.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 (3) (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 x}{2})) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 3 (- 5 x) + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- 5$ với $3$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 6 \cdot 6$

Bước 2.3.1.6

Nhân $6$ với $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 36$

Bước 2.3.2

Trừ $15 x$ khỏi $- 15 x$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 30 x + 36$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{25 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 4

Vì $\frac{25}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{25}{4}$ ra khỏi tích phân.

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{25}{4}$ và $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 7

Vì $- 30$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 30$ ra khỏi tích phân.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Bước 11.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 x]_{0}^{1})$

Bước 11.3

Tính $36 x$ tại $1$ và tại $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.5

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.6

Kết hợp $25$ và $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{25}{3}}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.7

Viết lại $\frac{\frac{25}{3}}{4}$ ở dạng một tích.

$V = π (\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.8

Nhân $\frac{25}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{25}{3 \cdot 4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.9

Nhân $3$ với $4$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} + 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.14

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.15

Kết hợp $- 30$ và $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 30}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.16

Triệt tiêu thừa số chung của $- 30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 30$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.16.2.4

Chia $- 15$ cho $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.17

Để viết $- 15$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 \cdot \frac{12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.18

Kết hợp $- 15$ và $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{25 - 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.20.1

Nhân $- 15$ với $12$ .

$V = π (\frac{25 - 180}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.20.2

Trừ $180$ khỏi $25$ .

$V = π (\frac{- 155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.21

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.22

Nhân $36$ với $1$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 - 36 \cdot 0)$

Bước 11.4.23

Nhân $- 36$ với $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 + 0)$

Bước 11.4.24

Cộng $36$ và $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36)$

Bước 11.4.25

Để viết $36$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot \frac{12}{12})$

Bước 11.4.26

Kết hợp $36$ và $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + \frac{36 \cdot 12}{12})$

Bước 11.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{- 155 + 36 \cdot 12}{12})$

Bước 11.4.28

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.28.1

Nhân $36$ với $12$ .

$V = π (\frac{- 155 + 432}{12})$

Bước 11.4.28.2

Cộng $- 155$ và $432$ .

$V = π (\frac{277}{12})$

Bước 11.4.29

Kết hợp $π$ và $\frac{277}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 277}{12}$

Bước 11.4.30

Di chuyển $277$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{277 π}{12}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{277 π}{12}$

Dạng thập phân:

$V = 72.51843042 \dots$

Bước 13