Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{2}}{4}$ , $x = 3$ , $y = 0$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = \frac{x^{2}}{4}$

Bước 2

Rút gọn hàm được tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{2}}{4}$ .

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{4^{2}}$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{4^{2}}$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{4^{2}}$

Bước 2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{16}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{16}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{16}$ ra khỏi tích phân.

$V = π (\frac{1}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x)$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{16}$ và $π$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{1}{5} x^{5}$ tại $3$ và tại $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $243$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Bước 6.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

Bước 6.2.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

Bước 6.2.5

Nhân $0$ với $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0)$

Bước 6.2.6

Cộng $\frac{243}{5}$ và $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{243}{5}$

Bước 6.2.7

Nhân $\frac{π}{16}$ với $\frac{243}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{16 \cdot 5}$

Bước 6.2.8

Nhân $16$ với $5$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{80}$

Bước 6.2.9

Di chuyển $243$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{243 π}{80}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{243 π}{80}$

Dạng thập phân:

$V = 9.54258768 \dots$

Bước 8