Giải tích Ví dụ

$x = 2 \sqrt{5 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7.74596669} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = 3$ và $g (x) = \frac{x^{2}}{20}$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{20})}^{2}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{2}}{20}$ .

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{20^{2}}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{20^{2}}$

Bước 2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{20^{2}}$

Bước 2.4

Nâng $20$ lên lũy thừa $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{400}$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{0}^{7.74596669} 9 d x + \int_{0}^{7.74596669} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} + \int_{0}^{7.74596669} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \int_{0}^{7.74596669} \frac{x^{4}}{400} d x)$

Bước 6

Vì $\frac{1}{400}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{400}$ ra khỏi tích phân.

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - (\frac{1}{400} \cdot \int_{0}^{7.74596669} x^{4} d x))$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{7.74596669})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \frac{1}{400} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669})$

Bước 8.1.2

Kết hợp $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669}$ và $\frac{1}{400}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{7.74596669} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669}}{400})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $9 x$ tại $7.74596669$ và tại $0$ .

$V = π ((9 \cdot 7.74596669) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{7.74596669}}{400})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{x^{5}}{5}$ tại $7.74596669$ và tại $0$ .

$V = π ((9 \cdot 7.74596669) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nhân $9$ với $7.74596669$ .

$V = π (69.71370023 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Bước 8.2.3.2

Nhân $- 9$ với $0$ .

$V = π (69.71370023 + 0 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Bước 8.2.3.3

Cộng $69.71370023$ và $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{(\frac{{7.74596669}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Bước 8.2.3.4

Nâng $7.74596669$ lên lũy thừa $5$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Bước 8.2.3.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{0}{5}}{400})$

Bước 8.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{400})$

Bước 8.2.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

Bước 8.2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

Bước 8.2.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - \frac{0}{1}}{400})$

Bước 8.2.3.6.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} - 0}{400})$

Bước 8.2.3.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5} + 0}{400})$

Bước 8.2.3.8

Cộng $\frac{27885.48009269}{5}$ và $0$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{\frac{27885.48009269}{5}}{400})$

Bước 8.2.3.9

Viết lại $\frac{\frac{27885.48009269}{5}}{400}$ ở dạng một tích.

$V = π (69.71370023 - (\frac{27885.48009269}{5} \cdot \frac{1}{400}))$

Bước 8.2.3.10

Nhân $\frac{27885.48009269}{5}$ với $\frac{1}{400}$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{27885.48009269}{5 \cdot 400})$

Bước 8.2.3.11

Nhân $5$ với $400$ .

$V = π (69.71370023 - \frac{27885.48009269}{2000})$

Bước 8.2.3.12

Để viết $69.71370023$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2000}{2000}$ .

$V = π (69.71370023 \cdot \frac{2000}{2000} - \frac{27885.48009269}{2000})$

Bước 8.2.3.13

Kết hợp $69.71370023$ và $\frac{2000}{2000}$ .

$V = π (\frac{69.71370023 \cdot 2000}{2000} - \frac{27885.48009269}{2000})$

Bước 8.2.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{69.71370023 \cdot 2000 - 27885.48009269}{2000})$

Bước 8.2.3.15

Nhân $69.71370023$ với $2000$ .

$V = π (\frac{139427.40046346 - 27885.48009269}{2000})$

Bước 8.2.3.16

Trừ $27885.48009269$ khỏi $139427.40046346$ .

$V = π (\frac{111541.92037077}{2000})$

Bước 8.2.3.17

Kết hợp $π$ và $\frac{111541.92037077}{2000}$ .

$V = \frac{π \cdot 111541.92037077}{2000}$

Bước 8.2.3.18

Nhân $π$ với $111541.92037077$ .

$V = \frac{350419.27760411}{2000}$

Bước 9

Chia $350419.27760411$ cho $2000$ .

$V = 175.2096388$

Bước 10