Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1} \log (x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{\log (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\log (1)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Bước 1.2.3

Logarit cơ số $10$ của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Bước 1.3.2

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{7 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Bước 1.3.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Bước 1.3.4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 12}$

Bước 1.3.5

Tính giới hạn của $12$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Bước 1.3.6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Bước 1.3.6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Bước 1.3.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{0}{7 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Bước 1.3.7.1.2

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Bước 1.3.7.1.3

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 1 \cdot 12}$

Bước 1.3.7.1.4

Nhân $- 1$ với $12$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 12}$

Bước 1.3.7.2

Cộng $7$ và $5$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Bước 1.3.7.3

Trừ $12$ khỏi $12$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.7.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.8

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\log (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 5 x - 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Bước 3.4.3

Nhân $2$ với $7$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Bước 3.5

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Bước 3.5.3

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Bước 3.6

Vì $- 12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 12$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + 0}$

Bước 3.7

Cộng $14 x + 5$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{14 x + 5}$

Bước 5

Nhân $\frac{1}{x \ln (10)}$ với $\frac{1}{14 x + 5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10) (14 x + 5)}$

Bước 6

Chuyển số hạng $\frac{1}{\ln (10)}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (14 x + 5)}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Bước 8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} 14 x + 5}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} 14 x + lim_{x \to 1} 5)}$

Bước 11

Chuyển số hạng $14$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5)}$

Bước 12

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Bước 14.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 \cdot 1 + 5}$

Bước 14.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $14$ với $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 + 5}$

Bước 14.2.2

Cộng $14$ và $5$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{19}$

Bước 14.3

Nhân $\frac{1}{\ln (10)}$ với $\frac{1}{19}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cdot 19}$

Bước 14.4

Di chuyển $19$ sang phía bên trái của $\ln (10)$ .

$\frac{1}{19 \ln (10)}$