Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{2 π}{x})$

Bước 1

Viết lại $x \sin (\frac{2 π}{x})$ ở dạng $\frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.2.1.2

Chuyển số hạng $2 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sin (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.2.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sin (2 π \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Nhân $2 π \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{\sin (0 π)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.2.3.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.2.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{2 π}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.3

Vì $2 π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 π}{x}$ đối với $x$ là $2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (\frac{- 2}{x^{2}} π)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7.2.2

Kết hợp $\frac{- 2}{x^{2}}$ và $π$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{- 2 π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- \frac{2 π}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7.2.4

Kết hợp $\cos (\frac{2 π}{x})$ và $\frac{2 π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (\frac{2 π}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.8

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Bước 2.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Bước 2.3.10

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Bước 2.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Bước 2.5.2

Nhân $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Bước 2.5.3

Kết hợp $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ và $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.6.2

Chia $2 π \cos (\frac{2 π}{x})$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 π \cos (\frac{2 π}{x})$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển số hạng $2 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 π lim_{x \to \infty} \cos (\frac{2 π}{x})$

Bước 3.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$2 π \cos (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})$

Bước 3.3

Chuyển số hạng $2 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 π \cos (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$2 π \cos (2 π \cdot 0)$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2 π \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$2 π \cos (0 π)$

Bước 5.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$2 π \cos (0)$

Bước 5.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 π \cdot 1$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 π$