Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Bước 1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x, 1, 1$

Bước 2.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ với $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $0$ với $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Bước 2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Bước 2.4.1.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Bước 2.4.1.2.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $1$ cộng $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Bước 2.4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Bước 2.4.1.2.4

Nhân $x$ với $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Bước 2.4.1.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Bước 2.4.1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Bước 2.4.1.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 2.4.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 2.4.3

Đặt $2 x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đặt $2 x + 1$ bằng với $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Bước 2.4.3.2

Giải $2 x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 1$

Bước 2.4.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.4.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.4.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.4.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1}{2}$

Bước 2.4.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.4.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.4.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Bước 4

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 6

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 0.5, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.25$ trong biểu thức.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $2$ với $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Bước 7.2.1.2

Chia $1$ cho $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Bước 7.2.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Cộng $- 0.5$ và $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Bước 7.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2.5$ .

$2.5$

Bước 8

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(0, 1)$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 9.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 9.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Bước 9.2.1.3

Nhân $- (1 \cdot 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Bước 9.2.1.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Bước 9.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Bước 9.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Bước 9.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 9.3

Tại $x = \frac{1}{2}$ đạo hàm là $- 2$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 1)$ .

Giảm trên $(0, 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 10

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(0, 1), (1, \infty)$

Bước 11

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Bước 11.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Bước 11.2.2.2

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Bước 11.2.2.3

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Bước 11.2.2.4

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Bước 11.2.2.5

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 11.2.2.6

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 11.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 11.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Nhân $4$ với $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 11.2.4.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Bước 11.2.5

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Bước 11.2.5.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Bước 11.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Bước 11.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $\frac{5}{2}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 12

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(1, \infty)$

Giảm trên: $(0, 1)$

Bước 13