Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x^{2} + 9} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 9}$ ở dạng ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.5

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.11

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.13

Kết hợp $2$ và $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.14

Kết hợp $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.15

Di chuyển ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.16

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.17

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Bước 2.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Không có điểm nào làm cho đạo hàm $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ bằng $0$ hoặc không xác định. Khoảng được sử dụng để kiểm tra xem $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$ tăng hay giảm là $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương. Nếu kết quả là âm, thì biểu đồ giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ . Nếu kết quả là dương, thì biểu đồ tăng trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 5.2.1.2

Cộng $1$ và $9$ .

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 5.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 6

Kết quả của việc thay thế $1$ vào $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ là $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ , là âm, nên đồ thị giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Giảm trên $(- \infty, \infty)$

Bước 7

Giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ , có nghĩa là hàm số luôn luôn giảm.

Luôn giảm

Bước 8